4x^2-100x+96=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 100 x + 96 = 0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x=24$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x^{2}-25x+24=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+24 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-25 ab=1\times 24=24$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Çözüm, -25 toplamını veren çifttir.

$$a=-24 b=-1$$

x^{2}-25x+24 ifadesini \left(x^{2}-24x\right)+\left(-x+24\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-24x\right)+\left(-x+24\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-24\right)-\left(x-24\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-24 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-24\right)\left(x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-24=0 ve x-1=0 çözün.

$$x=24 x=1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-100x+96=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -100 ve c yerine 96 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

-100 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-16\times 96}}{2\times 4}$$

-16 ile 96 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-1536}}{2\times 4}$$

-1536 ile 10000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{8464}}{2\times 4}$$

8464 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±92}{2\times 4}$$

-100 sayısının tersi: 100.

$$x=\frac{100±92}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{100±92}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{100±92}{8} denklemini çözün. 92 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{192}{8}$$

192 sayısını 8 ile bölün.

$$x=24$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{100±92}{8} denklemini çözün. 92 sayısını 100 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 sayısını 8 ile bölün.

$$x=1$$

Denklem çözüldü.

$$x=24 x=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-100x+96=0$$

Denklemin her iki tarafından 96 çıkarın.

$$4x^{2}-100x+96-96=-96$$

96 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-100x=-96$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-100x}{4}=-\frac{96}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{100}{4}\right)x=-\frac{96}{4}$$

-100 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-25x=-\frac{96}{4}$$

-96 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-25x=-24$$

x teriminin katsayısı olan -25 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{25}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{25}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

-\frac{25}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-24+\frac{625}{4}$$

\frac{625}{4} ile -24 sayısını toplayın.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktör x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{23}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{23}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{25}{2} ekleyin.

$$x=24 x=1$$