4x^2+x+3=498 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + x + 3 = 498$$

x için çözün

$$x = -\frac{45}{4} = -11\frac{1}{4} = -11,25$$

$$x=11$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 498 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

3 sayısından 498 sayısını çıkarıp -495 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+x-495=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-495 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=4\left(-495\right)=-1980$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -1980 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,1980 -2,990 -3,660 -4,495 -5,396 -6,330 -9,220 -10,198 -11,180 -12,165 -15,132 -18,110 -20,99 -22,90 -30,66 -33,60 -36,55 -44,45$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+1980=1979 -2+990=988 -3+660=657 -4+495=491 -5+396=391 -6+330=324 -9+220=211 -10+198=188 -11+180=169 -12+165=153 -15+132=117 -18+110=92 -20+99=79 -22+90=68 -30+66=36 -33+60=27 -36+55=19 -44+45=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-44 b=45$$

4x^{2}+x-495 ifadesini \left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 45 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(x-11\right)+45\left(x-11\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-11 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-11\right)\left(4x+45\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-11=0 ve 4x+45=0 çözün.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+x+3=498$$

Denklemin her iki tarafından 498 çıkarın.

$$4x^{2}+x+3-498=498-498$$

498 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

498 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+x-495=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 1 ve c yerine -495 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -495 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+7920}}{2\times 4}$$

7920 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7921}}{2\times 4}$$

7921 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±89}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±89}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±89}{8} denklemini çözün. 89 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{88}{8}$$

88 sayısını 8 ile bölün.

$$x=11$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±89}{8} denklemini çözün. 89 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{90}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-90}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{45}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+x+3=498$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$4x^{2}+x+3-3=498-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+x=498-3$$

3 sayısını 498 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+x=495$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{495}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{495}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{495}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

\frac{1}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{495}{4}+\frac{1}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{495}{4} ile \frac{1}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{7921}{64}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{7921}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{89}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{89}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{8} çıkarın.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$