4x^2+48x-81=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-81 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -324 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Çözüm, 48 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81 ifadesini \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 27 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-3=0 ve 2x+27=0 çözün.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 48 ve c yerine -81 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 sayısının karesi.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -81 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

1296 ile 2304 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

3600 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-48±60}{8} denklemini çözün. 60 ile -48 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-48±60}{8} denklemini çözün. 60 sayısını -48 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{108}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-108}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Denklemin her iki tarafına 81 ekleyin.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

-81 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

-81 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+48x=81$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 12 sayısını 2 değerine bölerek 6 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 6 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 sayısının karesi.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

36 ile \frac{81}{4} sayısını toplayın.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktör x^{2}+12x+36. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$