4x^2+4x+9=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 4 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

-144 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

-128 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} denklemini çözün. 8i\sqrt{2} ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} sayısını 8 ile bölün.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} denklemini çözün. 8i\sqrt{2} sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} sayısını 8 ile bölün.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{4} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Faktör x^{2}+x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$