4x^2+4x+1=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,4 2,2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+4=5 2+2=4$$

Çözüm, 4 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=2$$

4x^{2}+4x+1 ifadesini \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

4x^{2}+2x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 2x+1=0 ifadesini çözün.

$$x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 4 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

-16 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{4} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Faktör x^{2}+x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=-\frac{1}{2}$$