4x^2+28x+40=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,10 2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+10=11 2+5=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=5$$

x^{2}+7x+10 ifadesini \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+2=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=-2 x=-5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 28 ve c yerine 40 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

28 sayısının karesi.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

-16 ile 40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

-640 ile 784 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-28±12}{8} denklemini çözün. 12 ile -28 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{16}{8}$$

-16 sayısını 8 ile bölün.

$$x=-2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-28±12}{8} denklemini çözün. 12 sayısını -28 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{8}$$

-40 sayısını 8 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=-2 x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Denklemin her iki tarafından 40 çıkarın.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

40 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

28 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

-40 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+7x=-10$$

x teriminin katsayısı olan 7 sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

\frac{7}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

\frac{49}{4} ile -10 sayısını toplayın.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktör x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{2} çıkarın.

$$x=-2 x=-5$$