4x^2+20x+25=49 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 49$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

25 sayısından 49 sayısını çıkarıp -24 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x^{2}+5x-6=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-6 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -6 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,6 -2,3$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=6$$

x^{2}+5x-6 ifadesini \left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=1 x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Denklemin her iki tarafından 49 çıkarın.

$$4x^{2}+20x+25-49=49-49$$

49 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

49 sayısını 25 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 20 ve c yerine -24 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 4}$$

384 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

784 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±28}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±28}{8} denklemini çözün. 28 ile -20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 sayısını 8 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±28}{8} denklemini çözün. 28 sayısını -20 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 sayısını 8 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Denklemin her iki tarafından 25 çıkarın.

$$4x^{2}+20x+25-25=49-25$$

25 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+20x=49-25$$

25 sayısını 49 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}+20x=24$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=\frac{24}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=\frac{24}{4}$$

20 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+5x=\frac{24}{4}$$

24 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+5x=6$$

x teriminin katsayısı olan 5 sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

\frac{25}{4} ile 6 sayısını toplayın.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{2} çıkarın.

$$x=1 x=-6$$