4x^2+12x+19=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 12 ve c yerine 19 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

-16 ile 19 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

-304 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

-160 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} denklemini çözün. 4i\sqrt{10} ile -12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

-12+4i\sqrt{10} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} denklemini çözün. 4i\sqrt{10} sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

-12-4i\sqrt{10} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Denklemin her iki tarafından 19 çıkarın.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

19 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

12 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 3 sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{19}{4} ile \frac{9}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Faktör x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{2} çıkarın.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$