4p^2-3p-10=0 Denklemini Çözme

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

p için çözün

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4p^{2}+ap+bp-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -40 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=5$$

4p^{2}-3p-10 ifadesini \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 4p çarpanlarına ayırın.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak p-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için p-2=0 ve 4p+5=0 çözün.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -3 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-3 sayısının karesi.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -10 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

160 ile 9 sayısını toplayın.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak p=\frac{3±13}{8} denklemini çözün. 13 ile 3 sayısını toplayın.

$$p=\frac{16}{8}$$

16 sayısını 8 ile bölün.

$$p=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak p=\frac{3±13}{8} denklemini çözün. 13 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$p=-\frac{10}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{8} kesrini sadeleştirin.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4p^{2}-3p=10$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

-\frac{3}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{2} ile \frac{9}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktör p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{8} ekleyin.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$