4n^2-7n=11 Denklemini Çözme

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n için çözün

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 11 sayısını çıkarın.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4n^{2}+an+bn-11 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -44 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 ifadesini \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n ifadesini n ortak çarpan parantezine alın.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Dağılma özelliği kullanarak 4n-11 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4n-11=0 ve n+1=0 çözün.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4n^{2}-7n=11$$

Denklemin her iki tarafından 11 çıkarın.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -7 ve c yerine -11 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 sayısının karesi.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -11 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

176 ile 49 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{7±15}{8} denklemini çözün. 15 ile 7 sayısını toplayın.

$$n=\frac{22}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{22}{8} kesrini sadeleştirin.

$$n=\frac{11}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{7±15}{8} denklemini çözün. 15 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 sayısını 8 ile bölün.

$$n=-1$$

Denklem çözüldü.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4n^{2}-7n=11$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{11}{4} ile \frac{49}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktör n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{8} ekleyin.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$