4k^2+7k+3=0 Denklemini Çözme

$$4 k ^ { 2 } + 7 k + 3 = 0$$

k için çözün

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$k=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4k^{2}+ak+bk+3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=4\times 3=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,12 2,6 3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=3 b=4$$

4k^{2}+7k+3 ifadesini \left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)$$

4k^{2}+3k ifadesini k ortak çarpan parantezine alın.

$$k\left(4k+3\right)+4k+3$$

Dağılma özelliği kullanarak 4k+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4k+3\right)\left(k+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4k+3=0 ve k+1=0 çözün.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 7 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$k=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

7 sayısının karesi.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

-16 ile 3 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

-48 ile 49 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-7±1}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-7±1}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-7±1}{8} denklemini çözün. 1 ile -7 sayısını toplayın.

$$k=-\frac{6}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{8} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-7±1}{8} denklemini çözün. 1 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{8}{8}$$

-8 sayısını 8 ile bölün.

$$k=-1$$

Denklem çözüldü.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$4k^{2}+7k+3-3=-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4k^{2}+7k=-3$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4k^{2}+7k}{4}=-\frac{3}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k=-\frac{3}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{7}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

\frac{7}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{3}{4} ile \frac{49}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktör k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$k+\frac{7}{8}=\frac{1}{8} k+\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{8} çıkarın.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$