4(x+1)^2-169=0 Denklemini Çözme

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

4 sayısını x^{2}+2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

4 sayısından 169 sayısını çıkarıp -165 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-165 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -660 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=-22 b=30$$

4x^{2}+8x-165 ifadesini \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 15 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-11 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-11=0 ve 2x+15=0 çözün.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

4 sayısını x^{2}+2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

4 sayısından 169 sayısını çıkarıp -165 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 8 ve c yerine -165 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -165 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

2640 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

2704 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±52}{8} denklemini çözün. 52 ile -8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{44}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{44}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{11}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±52}{8} denklemini çözün. 52 sayısını -8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{60}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-60}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

4 sayısını x^{2}+2x+1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

4 sayısından 169 sayısını çıkarıp -165 sonucunu bulun.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Her iki tarafa 165 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$4x^{2}+8x=165$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

8 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 2 sayısını 2 değerine bölerek 1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

1 sayısının karesi.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

1 ile \frac{165}{4} sayısını toplayın.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Faktör x^{2}+2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$