4x^2-4x-16=0 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -4 ve c yerine -16 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

256 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

272 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} denklemini çözün. 4\sqrt{17} ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

4+4\sqrt{17} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} denklemini çözün. 4\sqrt{17} sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

4-4\sqrt{17} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Denklemin her iki tarafına 16 ekleyin.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

-16 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-4x=16$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

16 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-x=4$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 4 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$