4x^2-4x-15=0 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Çözüm, -4 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=6$$

4x^{2}-4x-15 ifadesini \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-5=0 ve 2x+3=0 çözün.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -4 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

240 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±16}{8} denklemini çözün. 16 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{20}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±16}{8} denklemini çözün. 16 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Denklemin her iki tarafına 15 ekleyin.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

-15 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-4x=15$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{15}{4} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktör x^{2}-x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$