4x^2-2x-3=0 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } -2x-3 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1,151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0,651387819$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -2 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

48 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

52 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} denklemini çözün. 2\sqrt{13} ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

2+2\sqrt{13} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} denklemini çözün. 2\sqrt{13} sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

2-2\sqrt{13} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$4x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-2x=3$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{4} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$