4x^2-12x-7=0 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-14 b=2$$

4x^{2}-12x-7 ifadesini \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

4x^{2}-14x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-7=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -12 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

112 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{12±16}{8} denklemini çözün. 16 ile 12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{28}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{28}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{7}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{12±16}{8} denklemini çözün. 16 sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-12x=7$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

-12 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -3 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{4} ile \frac{9}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Faktör x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} ekleyin.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$