4x^2-10x+4=0 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } -10x+4 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$2x^{2}-5x+2=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 2x^{2}+ax+bx+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-4 -2,-2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=-1$$

2x^{2}-5x+2 ifadesini \left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(-x+2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 2x-1=0 çözün.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -10 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

-10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 4}}{2\times 4}$$

-16 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2\times 4}$$

-64 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

36 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±6}{2\times 4}$$

-10 sayısının tersi: 10.

$$x=\frac{10±6}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{10±6}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{10±6}{8} denklemini çözün. 6 ile 10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{8}$$

16 sayısını 8 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{10±6}{8} denklemini çözün. 6 sayısını 10 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-10x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$4x^{2}-10x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-10x=-4$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{4}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{4}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{4}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-1$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16} ile -1 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{4} ekleyin.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$