4x^2+4x=120 Denklemini Çözme

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 120 sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x^{2}+x-30=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-30 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 ifadesini \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=5 x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}+4x=120$$

Denklemin her iki tarafından 120 çıkarın.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

120 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine 4 ve c yerine -120 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -120 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

1920 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

1936 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±44}{8} denklemini çözün. 44 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{40}{8}$$

40 sayısını 8 ile bölün.

$$x=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±44}{8} denklemini çözün. 44 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 sayısını 8 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=5 x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}+4x=120$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}+x=30$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile 30 sayısını toplayın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktör x^{2}+x+\frac{1}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=5 x=-6$$