4t^2+3t=1 Denklemini Çözme

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

t için çözün

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4t^{2}+at+bt-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,4 -2,2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=4$$

4t^{2}+3t-1 ifadesini \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

4t^{2}-t ifadesini t ortak çarpan parantezine alın.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Dağılma özelliği kullanarak 4t-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4t-1=0 ve t+1=0 çözün.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4t^{2}+3t=1$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 4, b yerine 3 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

3 sayısının karesi.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -1 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

16 ile 9 sayısını toplayın.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak t=\frac{-3±5}{8} denklemini çözün. 5 ile -3 sayısını toplayın.

$$t=\frac{2}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{8} kesrini sadeleştirin.

$$t=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak t=\frac{-3±5}{8} denklemini çözün. 5 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$t=-\frac{8}{8}$$

-8 sayısını 8 ile bölün.

$$t=-1$$

Denklem çözüldü.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4t^{2}+3t=1$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

\frac{3}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{4} ile \frac{9}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{8} çıkarın.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$