30+2x=4x^2 Denklemini Çözme

$$30 + 2 x = 4 x ^ { 2 }$$

x için çözün

$$x=3$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$15+x-2x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-2x^{2}+x+15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -2x^{2}+ax+bx+15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=-2\times 15=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=6 b=-5$$

-2x^{2}+x+15 ifadesini \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-5x+15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+3=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-4x^{2}+2x+30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -4, b yerine 2 ve c yerine 30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

-4 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16\times 30}}{2\left(-4\right)}$$

16 ile 30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\left(-4\right)}$$

480 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\left(-4\right)}$$

484 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±22}{2\left(-4\right)}$$

2 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±22}{-8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±22}{-8} denklemini çözün. 22 ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{-8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{20}{-8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±22}{-8} denklemini çözün. 22 sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{-8}$$

-24 sayısını -8 ile bölün.

$$x=3$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{5}{2} x=3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$30+2x-4x^{2}=0$$

Her iki taraftan 30 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$2x-4x^{2}=-30$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-4x^{2}+2x=-30$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{30}{-4}$$

-4 ile bölme, -4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{30}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{30}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{15}{2} ile \frac{1}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{4} ekleyin.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$