3x-15=2x(x-5) Denklemini Çözme

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

x için çözün

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

2x sayısını x-5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Her iki taraftan 2x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

3x ve 10x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -2x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=10 b=3$$

-2x^{2}+13x-15 ifadesini \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+5=0 ve 2x-3=0 çözün.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

2x sayısını x-5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Her iki taraftan 2x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

3x ve 10x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -2, b yerine 13 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

-120 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

2 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±7}{-4} denklemini çözün. 7 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±7}{-4} denklemini çözün. 7 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

-20 sayısını -4 ile bölün.

$$x=5$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

2x sayısını x-5 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Her iki taraftan 2x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

3x ve 10x terimlerini birleştirerek 13x sonucunu elde edin.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Her iki tarafa 15 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$13x-2x^{2}=15$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

-2 ile bölme, -2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

13 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

15 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{13}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

-\frac{13}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{15}{2} ile \frac{169}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{4} ekleyin.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$