3x^2-7x+4=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=-3$$

3x^{2}-7x+4 ifadesini \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-4=0 ve x-1=0 çözün.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -7 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

-12 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

-48 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±1}{6} denklemini çözün. 1 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±1}{6} denklemini çözün. 1 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{4}{3} ile \frac{49}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{6} ekleyin.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$