3x^2-32x+84=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

x için çözün

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+84 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 252 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Çözüm, -32 toplamını veren çifttir.

$$a=-18 b=-14$$

3x^{2}-32x+84 ifadesini \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -14 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-6=0 ve 3x-14=0 çözün.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -32 ve c yerine 84 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12 ile 84 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

-1008 ile 1024 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 sayısının tersi: 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{32±4}{6} denklemini çözün. 4 ile 32 sayısını toplayın.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 sayısını 6 ile bölün.

$$x=6$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{32±4}{6} denklemini çözün. 4 sayısını 32 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{28}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{28}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{14}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Denklemin her iki tarafından 84 çıkarın.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

84 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{32}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{16}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{16}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

-\frac{16}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

\frac{256}{9} ile -28 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{16}{3} ekleyin.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$