3x^2-20x+1=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -20 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

-12 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

388 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20 sayısının tersi: 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{97} ile 20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

20+2\sqrt{97} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{97} sayısını 20 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

20-2\sqrt{97} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{20}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{10}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{10}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

-\frac{10}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{3} ile \frac{100}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{10}{3} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$