3x^2-2x-16=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -48 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Çözüm, -2 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=6$$

3x^{2}-2x-16 ifadesini \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-8=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -2 ve c yerine -16 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

192 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±14}{6} denklemini çözün. 14 ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{16}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{8}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±14}{6} denklemini çözün. 14 sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Denklemin her iki tarafına 16 ekleyin.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

-16 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-2x=16$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{16}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$