3x^2-2x-1=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=-3 b=1$$

3x^{2}-2x-1 ifadesini \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

3x^{2}-3x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 3x+1=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -2 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

12 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4}{6} denklemini çözün. 4 ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4}{6} denklemini çözün. 4 sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-2x=1$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$