3x^2+x-4=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=4$$

3x^{2}+x-4 ifadesini \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 3x+4=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 1 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

48 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±7}{6} denklemini çözün. 7 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±7}{6} denklemini çözün. 7 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

-4 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+x=4$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

\frac{1}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{3} ile \frac{1}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{6} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$