3x^2+x-10=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + x - 10 = 0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=3\left(-10\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=6$$

3x^{2}+x-10 ifadesini \left(3x^{2}-5x\right)+\left(6x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(6x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-5\right)+2\left(3x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-5=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 1 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 3}$$

120 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±11}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±11}{6} denklemini çözün. 11 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±11}{6} denklemini çözün. 11 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+x-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$3x^{2}+x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+x=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+x=10$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{10}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{10}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

\frac{1}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{10}{3}+\frac{1}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10}{3} ile \frac{1}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{121}{36}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{11}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{6} çıkarın.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$