3x^2+9x-30=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,10 -2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=5$$

x^{2}+3x-10 ifadesini \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=2 x=-5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 9 ve c yerine -30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

360 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

441 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±21}{6} denklemini çözün. 21 ile -9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{6}$$

12 sayısını 6 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±21}{6} denklemini çözün. 21 sayısını -9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Denklemin her iki tarafına 30 ekleyin.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

-30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

-30 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+9x=30$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

9 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

30 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x=10$$

x teriminin katsayısı olan 3 sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 10 sayısını toplayın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{2} çıkarın.

$$x=2 x=-5$$