3x^2+9x+6=90 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x=4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 90 sayısını çıkarın.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

6 sayısından 90 sayısını çıkarıp -84 sonucunu bulun.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-28 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 ifadesini \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=4 x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Denklemin her iki tarafından 90 çıkarın.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

90 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

90 sayısını 6 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 9 ve c yerine -84 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -84 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

1008 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

1089 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±33}{6} denklemini çözün. 33 ile -9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{24}{6}$$

24 sayısını 6 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-9±33}{6} denklemini çözün. 33 sayısını -9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{6}$$

-42 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

6 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

6 sayısını 90 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+9x=84$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

9 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

84 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+3x=28$$

x teriminin katsayısı olan 3 sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 28 sayısını toplayın.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktör x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{2} çıkarın.

$$x=4 x=-7$$