3x^2+8x+4=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 8 x + 4 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=8 ab=3\times 4=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,12 2,6 3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Çözüm, 8 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=6$$

3x^{2}+8x+4 ifadesini \left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(6x+4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+2\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+2=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 8 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\times 4}}{2\times 3}$$

-12 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 3}$$

-48 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-8±4}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8±4}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±4}{6} denklemini çözün. 4 ile -8 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-8±4}{6} denklemini çözün. 4 sayısını -8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+8x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$3x^{2}+8x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+8x=-4$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=-\frac{4}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{4}{3} ile \frac{16}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{3} çıkarın.

$$x=-\frac{2}{3} x=-2$$