3x^2+4x-7=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,21 -3,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Çözüm, 4 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=7$$

3x^{2}+4x-7 ifadesini \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 3x+7=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 4 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

84 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

100 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±10}{6} denklemini çözün. 10 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±10}{6} denklemini çözün. 10 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+4x=7$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{3} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{3} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$