3x^2+4x+5=42 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 42$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{115} - 2}{3} \approx 2,907935098$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}\approx -4,241268432$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Denklemin her iki tarafından 42 çıkarın.

$$3x^{2}+4x+5-42=42-42$$

42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+4x+5-42=0$$

42 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+4x-37=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 4 ve c yerine -37 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -37 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+444}}{2\times 3}$$

444 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{460}}{2\times 3}$$

460 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{115} ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{115}-4}{6}$$

-4+2\sqrt{115} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{115} sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{115}-4}{6}$$

-4-2\sqrt{115} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$3x^{2}+4x+5-5=42-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+4x=42-5$$

5 sayısını 42 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+4x=37$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{37}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{37}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{37}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{37}{3}+\frac{4}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{37}{3} ile \frac{4}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{115}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{115}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{115}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{115}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{115}}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{3} çıkarın.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$