3x^2+2x+1=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 2 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

-12 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

-8 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} denklemini çözün. 2i\sqrt{2} ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} denklemini çözün. 2i\sqrt{2} sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{3} çıkarın.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$