3x^2+16x-35=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

x için çözün

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-35 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -105 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Çözüm, 16 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=21$$

3x^{2}+16x-35 ifadesini \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-5=0 ve x+7=0 çözün.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 16 ve c yerine -35 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

16 sayısının karesi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -35 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

420 ile 256 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

676 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-16±26}{6} denklemini çözün. 26 ile -16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-16±26}{6} denklemini çözün. 26 sayısını -16 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{6}$$

-42 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-7$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Denklemin her iki tarafına 35 ekleyin.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

-35 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+16x=35$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{16}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{8}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{8}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

\frac{8}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{35}{3} ile \frac{64}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{8}{3} çıkarın.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$