3x^2+16x-12=0 Denklemini Çözme

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

x için çözün

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Çözüm, 16 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=18$$

3x^{2}+16x-12 ifadesini \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-2=0 ve x+6=0 çözün.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine 16 ve c yerine -12 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

16 sayısının karesi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

144 ile 256 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-16±20}{6} denklemini çözün. 20 ile -16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-16±20}{6} denklemini çözün. 20 sayısını -16 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 sayısını 6 ile bölün.

$$x=-6$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Denklemin her iki tarafına 12 ekleyin.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

-12 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}+16x=12$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

12 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

x teriminin katsayısı olan \frac{16}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{8}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{8}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

\frac{8}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

\frac{64}{9} ile 4 sayısını toplayın.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{8}{3} çıkarın.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$