3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0 Denklemini Çözme

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

x, y için çözün

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 6y sayısını çıkarın.

$$3x+9-6y=0$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$3x-6y=-9$$

İkinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa 12 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$-2x-2y=12$$

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$3x-6y=-9$$

Denklemin her iki tarafına 6y ekleyin.

$$3x=6y-9$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

\frac{1}{3} ile 6y-9 sayısını çarpın.

$$x=2y-3$$

Diğer -2x-2y=12 denkleminde, x yerine 2y-3 koyun.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

-2 ile 2y-3 sayısını çarpın.

$$-4y+6-2y=12$$

-2y ile -4y sayısını toplayın.

$$-6y+6=12$$

Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın.

$$-6y=6$$

Her iki tarafı -6 ile bölün.

$$y=-1$$

x=2y-3 içinde y yerine -1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=-2-3$$

-2 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=-5$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=-5,y=-1$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 6y sayısını çıkarın.

$$3x+9-6y=0$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$3x-6y=-9$$

İkinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa 12 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$-2x-2y=12$$

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=-5,y=-1$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Birinci denklemi inceleyin. Her iki taraftan 6y sayısını çıkarın.

$$3x+9-6y=0$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$3x-6y=-9$$

İkinci denklemi inceleyin. Her iki tarafa 12 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$-2x-2y=12$$

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x ve -2x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -2 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 3 ile çarpın.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Sadeleştirin.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak -6x-6y=36 denklemini -6x+12y=18 denkleminden çıkarın.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

6x ile -6x sayısını toplayın. -6x ve 6x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$12y+6y=18-36$$

6y ile 12y sayısını toplayın.

$$18y=18-36$$

-36 ile 18 sayısını toplayın.

$$18y=-18$$

Her iki tarafı 18 ile bölün.

$$y=-1$$

-2x-2y=12 içinde y yerine -1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

-2 ile -1 sayısını çarpın.

$$-2x+2=12$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$-2x=10$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$x=-5$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=-5,y=-1$$