3x+5=x^2+1 Denklemini Çözme

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x=4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

5 sayısından 1 sayısını çıkarıp 4 sonucunu bulun.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,4 -2,2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=4 b=-1$$

-x^{2}+3x+4 ifadesini \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

İlk grubu -x, ikinci grubu -1 ortak çarpan parantezine alın.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-4=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=4 x=-1$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

5 sayısından 1 sayısını çıkarıp 4 sonucunu bulun.

$$3x+4-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine -1, b yerine 3 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

16 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±5}{-2} denklemini çözün. 5 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±5}{-2} denklemini çözün. 5 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-8 sayısını -2 ile bölün.

$$x=4$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Her iki taraftan 5 sayısını çıkarın.

$$3x-x^{2}=1-5$$

1 sayısından 5 sayısını çıkarıp -4 sonucunu bulun.

$$3x-x^{2}=-4$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

3 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

-4 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-3x=4$$

x teriminin katsayısı olan -3 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} ile 4 sayısını toplayın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

x^{2}-3x+\frac{9}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} ekleyin.

$$x=4 x=-1$$