3x+2y=8text{and}5x-4y=6 Denklemini Çözme

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

x, y için çözün

$$x=2$$

$$y=1$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$3x+2y=8$$

Denklemin her iki tarafından 2y çıkarın.

$$3x=-2y+8$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3} ile -2y+8 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Diğer 5x-4y=6 denkleminde, x yerine \frac{-2y+8}{3} koyun.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

5 ile \frac{-2y+8}{3} sayısını çarpın.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

-4y ile -\frac{10y}{3} sayısını toplayın.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Denklemin her iki tarafından \frac{40}{3} çıkarın.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Denklemin her iki tarafını -\frac{22}{3} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$y=1$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} içinde y yerine 1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{8}{3} ile -\frac{2}{3} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x=2$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=2,y=1$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=2,y=1$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

3x ve 5x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını 5 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 3 ile çarpın.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Sadeleştirin.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak 15x-12y=18 denklemini 15x+10y=40 denkleminden çıkarın.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

-15x ile 15x sayısını toplayın. 15x ve -15x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$10y+12y=40-18$$

12y ile 10y sayısını toplayın.

$$22y=40-18$$

-18 ile 40 sayısını toplayın.

$$22y=22$$

Her iki tarafı 22 ile bölün.

$$y=1$$

5x-4y=6 içinde y yerine 1 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$5x-4=6$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$5x=10$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$x=2$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=2,y=1$$