3u^2-14u=5 Denklemini Çözme

$$3 u ^ { 2 } - 14 u = 5$$

u için çözün

$$u=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$u=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 5 sayısını çıkarın.

$$3u^{2}-14u-5=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3u^{2}+au+bu-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-15 3,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Çözüm, -14 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=1$$

3u^{2}-14u-5 ifadesini \left(3u^{2}-15u\right)+\left(u-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3u^{2}-15u\right)+\left(u-5\right)$$

3u^{2}-15u ifadesini 3u ortak çarpan parantezine alın.

$$3u\left(u-5\right)+u-5$$

Dağılma özelliği kullanarak u-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(u-5\right)\left(3u+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için u-5=0 ve 3u+1=0 çözün.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3u^{2}-14u=5$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$3u^{2}-14u-5=5-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3u^{2}-14u-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -14 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-14 sayısının karesi.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -5 sayısını çarpın.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

60 ile 196 sayısını toplayın.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 3}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$u=\frac{14±16}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$u=\frac{14±16}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak u=\frac{14±16}{6} denklemini çözün. 16 ile 14 sayısını toplayın.

$$u=\frac{30}{6}$$

30 sayısını 6 ile bölün.

$$u=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak u=\frac{14±16}{6} denklemini çözün. 16 sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$u=-\frac{2}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{6} kesrini sadeleştirin.

$$u=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3u^{2}-14u=5$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3u^{2}-14u}{3}=\frac{5}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u=\frac{5}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{14}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

-\frac{7}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{3} ile \frac{49}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktör u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(u-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$u-\frac{7}{3}=\frac{8}{3} u-\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{3} ekleyin.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$