3r^2-24r=-45 Denklemini Çözme

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

r için çözün

$$r=3$$

$$r=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 45 ekleyin.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın r^{2}+ar+br+15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-15 -3,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-3$$

r^{2}-8r+15 ifadesini \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 r çarpanlarına ayırın.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak r-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için r-5=0 ve r-3=0 çözün.

$$r=5 r=3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Denklemin her iki tarafına 45 ekleyin.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

-45 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

-45 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -24 ve c yerine 45 değerini koyarak çözün.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24 sayısının karesi.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

-12 ile 45 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

-540 ile 576 sayısını toplayın.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

36 sayısının karekökünü alın.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 sayısının tersi: 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak r=\frac{24±6}{6} denklemini çözün. 6 ile 24 sayısını toplayın.

$$r=\frac{30}{6}$$

30 sayısını 6 ile bölün.

$$r=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak r=\frac{24±6}{6} denklemini çözün. 6 sayısını 24 sayısından çıkarın.

$$r=\frac{18}{6}$$

18 sayısını 6 ile bölün.

$$r=3$$

Denklem çözüldü.

$$r=5 r=3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

-24 sayısını 3 ile bölün.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

-45 sayısını 3 ile bölün.

$$r^{2}-8r=-15$$

x teriminin katsayısı olan -8 sayısını 2 değerine bölerek -4 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -4 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4 sayısının karesi.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

16 ile -15 sayısını toplayın.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktör r^{2}-8r+16. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sadeleştirin.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$r=5 r=3$$