3q^2-19q+16=0 Denklemini Çözme

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

q için çözün

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3q^{2}+aq+bq+16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 48 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Çözüm, -19 toplamını veren çifttir.

$$a=-16 b=-3$$

3q^{2}-19q+16 ifadesini \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

İlk grubu q, ikinci grubu -1 ortak çarpan parantezine alın.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3q-16 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3q-16=0 ve q-1=0 çözün.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 3, b yerine -19 ve c yerine 16 değerini koyarak çözün.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-19 sayısının karesi.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

-12 ile 16 sayısını çarpın.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

-192 ile 361 sayısını toplayın.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

-19 sayısının tersi: 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak q=\frac{19±13}{6} denklemini çözün. 13 ile 19 sayısını toplayın.

$$q=\frac{32}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{32}{6} kesrini sadeleştirin.

$$q=\frac{16}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak q=\frac{19±13}{6} denklemini çözün. 13 sayısını 19 sayısından çıkarın.

$$q=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$q=1$$

Denklem çözüldü.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{19}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{19}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{19}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

-\frac{19}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{16}{3} ile \frac{361}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{19}{6} ekleyin.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$