3p^2-8p+5=0 Denklemini Çözme

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

p için çözün

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3p^{2}+ap+bp+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-15 -3,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-3$$

3p^{2}-8p+5 ifadesini \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 p çarpanlarına ayırın.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3p-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3p-5=0 ve p-1=0 çözün.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -8 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-8 sayısının karesi.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

-12 ile 5 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

-60 ile 64 sayısını toplayın.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak p=\frac{8±2}{6} denklemini çözün. 2 ile 8 sayısını toplayın.

$$p=\frac{10}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{6} kesrini sadeleştirin.

$$p=\frac{5}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak p=\frac{8±2}{6} denklemini çözün. 2 sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$p=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$p=1$$

Denklem çözüldü.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{8}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{4}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{4}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{3} ile \frac{16}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktör p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{4}{3} ekleyin.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$