3n^2-7n-370=0 Denklemini Çözme

$$3 n ^ { 2 } - 7 n - 370 = 0$$

n için çözün

$$n=-10$$

$$n = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} \approx 12,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3n^{2}+an+bn-370 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=3\left(-370\right)=-1110$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -1110 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-1110 2,-555 3,-370 5,-222 6,-185 10,-111 15,-74 30,-37$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-1110=-1109 2-555=-553 3-370=-367 5-222=-217 6-185=-179 10-111=-101 15-74=-59 30-37=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-37 b=30$$

3n^{2}-7n-370 ifadesini \left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 10 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(3n-37\right)+10\left(3n-37\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3n-37 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3n-37\right)\left(n+10\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3n-37=0 ve n+10=0 çözün.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -7 ve c yerine -370 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-7 sayısının karesi.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -370 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4440}}{2\times 3}$$

4440 ile 49 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

4489 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±67}{2\times 3}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$n=\frac{7±67}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$n=\frac{7±67}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{7±67}{6} denklemini çözün. 67 ile 7 sayısını toplayın.

$$n=\frac{74}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{74}{6} kesrini sadeleştirin.

$$n=\frac{37}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{7±67}{6} denklemini çözün. 67 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{60}{6}$$

-60 sayısını 6 ile bölün.

$$n=-10$$

Denklem çözüldü.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Denklemin her iki tarafına 370 ekleyin.

$$3n^{2}-7n-370-\left(-370\right)=-\left(-370\right)$$

-370 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3n^{2}-7n=-\left(-370\right)$$

-370 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3n^{2}-7n=370$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=\frac{370}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=\frac{370}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{370}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

-\frac{7}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{370}{3}+\frac{49}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{370}{3} ile \frac{49}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{4489}{36}$$

Faktör n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{67}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{67}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{6} ekleyin.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$