3x^4+x^3+2x^2+4x-40 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi çarpanlarına ayırmak için ifadenin 0 değerine eşit olduğu denklemi çözün.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Rasyonel Kök teoremi, bir polinomun tüm rasyonel kökleri \frac{p}{q} biçimindedir, burada p, -40 sabit teriminin böleni, q ise 3 baş katsayısının bölenidir. Tüm adayları \frac{p}{q} listeleyin.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

En küçük mutlak değerden başlayarak tüm tam sayı değerlerini deneyerek kökü bulun. Tam sayı olan kök bulunamıyorsa kesirleri deneyin.

$$x=-2$$

Çarpan Teoremine göre polinomun her k kökü için x-k bir çarpandır. 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 sayısını x+2 sayısına bölerek 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 sonucunu bulun. Sonucu çarpanlarına ayırmak için sonucun 0 değerine eşit olduğu denklemi çözün.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Rasyonel Kök teoremi, bir polinomun tüm rasyonel kökleri \frac{p}{q} biçimindedir, burada p, -20 sabit teriminin böleni, q ise 3 baş katsayısının bölenidir. Tüm adayları \frac{p}{q} listeleyin.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

En küçük mutlak değerden başlayarak tüm tam sayı değerlerini deneyerek kökü bulun. Tam sayı olan kök bulunamıyorsa kesirleri deneyin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Çarpan Teoremine göre polinomun her k kökü için x-k bir çarpandır. 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 sayısını 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 sayısına bölerek x^{2}+4 sonucunu bulun. Sonucu çarpanlarına ayırmak için sonucun 0 değerine eşit olduğu denklemi çözün.

$$x^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için 0 ve c için 4 kullanın.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Rasyonel köke sahip olmadığından x^{2}+4 polinomu çarpanlarına ayrılamaz.

$$x^{2}+4$$

Çarpanlarına ayrılan ifadeyi, alınan kökleri kullanarak yeniden yazın.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Hesapla

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$