3x^2-5x-250=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-250 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -750 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-30 b=25$$

3x^{2}-5x-250 ifadesini \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 25 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve 3x+25=0 çözün.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -5 ve c yerine -250 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -250 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

3000 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

3025 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±55}{6} denklemini çözün. 55 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{60}{6}$$

60 sayısını 6 ile bölün.

$$x=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±55}{6} denklemini çözün. 55 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{50}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-50}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Denklemin her iki tarafına 250 ekleyin.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

-250 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

-250 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-5x=250$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{250}{3} ile \frac{25}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{6} ekleyin.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$