3x^2-5x+2=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 6 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-6 -2,-3$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=-2$$

3x^{2}-5x+2 ifadesini \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -2 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 3x-2=0 çözün.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -5 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

-12 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

-24 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±1}{6} denklemini çözün. 1 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 sayısını 6 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±1}{6} denklemini çözün. 1 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

-\frac{5}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{2}{3} ile \frac{25}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{6} ekleyin.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$