3x^2-4x-9=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -4 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

108 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

124 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{31} ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

4+2\sqrt{31} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} denklemini çözün. 2\sqrt{31} sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

4-2\sqrt{31} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-4x=9$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

\frac{4}{9} ile 3 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{3} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$