3x^2-31x-60=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-60 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Çözüm, -31 toplamını veren çifttir.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 ifadesini \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-12 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-12=0 ve 3x+5=0 çözün.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -31 ve c yerine -60 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -60 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

720 ile 961 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 sayısının tersi: 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{31±41}{6} denklemini çözün. 41 ile 31 sayısını toplayın.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 sayısını 6 ile bölün.

$$x=12$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{31±41}{6} denklemini çözün. 41 sayısını 31 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Denklemin her iki tarafına 60 ekleyin.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

-60 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-31x=60$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{31}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{31}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{31}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

-\frac{31}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

\frac{961}{36} ile 20 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktör x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{31}{6} ekleyin.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$