3x^2-2x-9=0 Denklemini Çözme

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 3, b yerine -2 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

108 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

112 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2 sayısının tersi: 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

2 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} denklemini çözün. 4\sqrt{7} ile 2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

2+4\sqrt{7} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} denklemini çözün. 4\sqrt{7} sayısını 2 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

2-4\sqrt{7} sayısını 6 ile bölün.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$3x^{2}-2x=9$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

3 ile bölme, 3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 sayısını 3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

\frac{1}{9} ile 3 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$